Co pokazuje model
Zbiornik stoi na podstawie, a woda wypływa przez otwór w dnie, w ścianie albo przez dyszę skierowaną w górę i spada do wanny. Niebieski trójkąt obok zbiornika to wykres ciśnienia: przy powierzchni ciśnienie jest zerowe, a z głębokością rośnie liniowo aż do ρgh na dnie. Wymiar h mierzy wysokość wody nad otworem, bo to ona decyduje o prędkości strumienia.
Skąd bierze się wzór
Nad otworem stoi słup cieczy o wysokości h. Naciska z ciśnieniem
To ciśnienie wypycha ciecz przez otwór i zamienia się w energię kinetyczną. Z równania Bernoulliego dla punktu na powierzchni i punktu w strumieniu wynika ρv²/2 = ρgh, czyli
To prawo Torricellego z 1643 roku: ciecz wypływa z taką prędkością, jaką miałoby ciało spadające swobodnie z wysokości h. Gęstość się skraca, dlatego rtęć i woda wypływają z tą samą prędkością, choć ciśnienie na dnie bardzo się różni.
Wydatek i współczynniki
Prawdziwy otwór przepuszcza mniej wody niż wynika ze wzoru, z dwóch powodów:
- Przewężenie strumienia ε: za ostrą krawędzią strumień zwęża się do około 64% pola otworu.
- Straty prędkości φ: tarcie w otworze zmniejsza prędkość o 2–3%, a w krótkiej rurce znacznie więcej.
| Wylot | μ | φ |
|---|---|---|
| otwór o ostrej krawędzi | 0,62 | 0,97 |
| wlot zaokrąglony | 0,95 | 0,97 |
| krótka rurka (przystawek walcowy) | 0,82 | 0,82 |
Czas opróżniania
Gdy poziom opada, maleje ciśnienie, a z nim wydatek. Z bilansu objętości Az dh = −Q dt wynika czas opróżnienia
To dwa razy dłużej, niż gdyby woda cały czas wypływała z początkową prędkością. Model liczy poziom krok po kroku i rysuje go na wykresie razem ze wzorem.
Kiedy wzór obowiązuje
- Otwór jest mały w porównaniu ze zbiornikiem, więc prędkość opadania zwierciadła jest pomijalna.
- Poziom zmienia się wolno, więc w każdej chwili przepływ można traktować jak ustalony.
- Strumień wypływa do powietrza. Otwór zatopiony liczy się z różnicy poziomów po obu stronach.
- Ciecz jest mało lepka. Dla oleju i bardzo małych otworów współczynniki zależą od liczby Reynoldsa.
Poziom wody liczony jest metodą Rungego–Kutty i porównany ze wzorem Torricellego, z wzorem na czas opróżnienia i z poziomem ustalonym przy dopływie. Tor strumienia to rzut ukośny bez oporu powietrza. Strumień jest rysowany 1,6 raza grubszy niż w skali, a krople poruszają się w czasie rzeczywistym niezależnie od tempa symulacji.