Co pokazuje model
Kanał widziany z góry, w którym płyn opływa przeszkodę. To przekrój przez płaski przepływ: prędkość nie zmienia się w kierunku pionowym. Barwne linie powstają tak jak dym w tunelu aerodynamicznym: znacznik jest wypuszczany stale z tych samych punktów na dopływie i niesiony przez przepływ. Wysokość powierzchni odwzorowuje ciśnienie: wzgórek to nadciśnienie, a dołek to podciśnienie, które w środku wiru widać najwyraźniej.
Przeszkodę i sondę przesuniesz myszą. Strzałki przy sondzie to profil prędkości w poprzek kanału. Zwróć uwagę, że przy ściance strzałka jest zawsze prawie zerowa. To warunek przylegania: płyn przy ściance stoi.
Skąd bierze się równanie
To druga zasada dynamiki Newtona dla małej porcji płynu: masa razy przyspieszenie równa się sumie sił. Po podzieleniu przez masę zostaje:
- Przyspieszenie lokalne: jak prędkość zmienia się w czasie w ustalonym miejscu. W ścieżce wirowej nigdy nie znika.
- Bezwładność (konwekcja): cząstka przepływa w miejsce, gdzie prędkość jest inna, więc musi przyspieszyć albo skręcić. Ten nieliniowy człon odpowiada za wiry i turbulencję.
- Ciśnienie: płyn przyspiesza od wysokiego ciśnienia do niskiego.
- Lepkość: tarcie między warstwami płynu wyrównuje prędkości, szczególnie przy ściankach.
- Ciągłość ∇·u = 0: płyn jest nieściśliwy, więc to, co wpływa do objętości, musi z niej wypłynąć.
Jedna liczba zamiast czterech
Jeśli prędkości odniesiemy do U, a długości do D, w równaniu zostanie jeden parametr: liczba Reynoldsa, czyli stosunek bezwładności do lepkości.
Dlatego model samolotu bada się w tunelu aerodynamicznym, a drut w strumyku wygląda jak komin na wietrze: przy tej samej liczbie Reynoldsa obraz przepływu jest taki sam.
| Re (walec) | Co się dzieje |
|---|---|
| poniżej 5 | przepływ przylega do walca i jest prawie symetryczny przód–tył |
| 5–47 | za walcem stoi para nieruchomych wirów |
| 47–190 | wiry odrywają się na przemian: ścieżka von Kármána |
| 190–1000 | ślad staje się trójwymiarowy i chaotyczny; model płaski tego nie pokaże |
| powyżej 1000 | ślad turbulentny, potrzebne są modele turbulencji |
Kiedy równania obowiązują
- Płyn traktujemy jako ośrodek ciągły, a więc zjawisko jest znacznie większe niż odległości między cząsteczkami.
- Płyn jest newtonowski: naprężenia są proporcjonalne do szybkości odkształcenia. Woda i powietrze tak, keczup i beton nie.
- Płyn jest nieściśliwy, czyli prędkości są dużo mniejsze od prędkości dźwięku.
Do dziś nie udowodniono, że trójwymiarowe równania Naviera–Stokesa mają zawsze gładkie rozwiązanie. To jeden z siedmiu Problemów Milenijnych Instytutu Claya.
Obliczenia: dwuwymiarowa siatkowa metoda Boltzmanna (D2Q9, BGK), która przy małych prędkościach odtwarza równania Naviera–Stokesa. Przepływ w kanale z walcem sprawdzono z wartościami z literatury. Przeszkoda zajmuje 17% szerokości kanału, dlatego CD i St są wyższe niż dla walca w nieograniczonym przepływie, dla którego przy Re = 100 CD ≈ 1,35, a St ≈ 0,165. Powyżej Re ≈ 190 prawdziwy ślad walca jest trójwymiarowy, więc wynik płaski jest tylko przybliżeniem. Współczynniki odniesiono do jednej średnicy D, także dla płytki i profilu.